Para quem este livro foi escrito

Para quem nunca programou e mal se lembra da matemática da escola.

Não é força de expressão. Se a última vez que você viu um plano cartesiano foi no ensino médio, se a palavra "seno" só te lembra de uma prova ruim, se você nunca escreveu uma linha de código na vida, este livro foi escrito para você. Nada aqui parte do princípio de que você já sabe alguma coisa.

E você não vai precisar programar para acompanhar. Não tem instalação, não tem linguagem de programação, não tem computador obrigatório. O que você vai usar é papel quadriculado, lápis, régua, compasso e a calculadora do celular. As contas que uma máquina faria, você vai escrever passo a passo, em português, e conferir no papel.

Também não é preciso ter lido nenhum outro livro desta série antes. Este aqui começa do zero, e o capítulo 2 revisita, com calma, o pouquinho de matemática básica que o resto do material vai usar. Se você já sabe aquilo, passa rápido. Se não sabe, o capítulo está ali justamente para isso.

Existe um livro de álgebra linear nesta mesma série, e os dois se cruzam em dois pontos: vetores e transformações. A diferença é o jeito de olhar. Lá o foco é a estrutura, o porquê das coisas funcionarem. Aqui o foco é visual e prático, o que aparece na tela. Nenhum dos dois é pré-requisito do outro, e você pode começar por qualquer um. Se começar por este, chega ao outro com vários casos concretos na cabeça. Se começar pelo outro, chega aqui sabendo a estrutura e vê ela ganhar forma no desenho. As duas ordens funcionam.

O que você vai conseguir fazer no final

Esta é a promessa, e ela é bem concreta.

No fim do livro você vai conseguir descrever uma forma usando números. Um ponto, uma linha, um círculo, uma curva, uma caixa. Você vai olhar para um botão redondo na tela e enxergar três números, não um desenho.

As cinco perguntas do começo são a motivação, e todas elas são respondidas ao longo do livro. Mas três delas são o compromisso principal, e vale dizer agora onde cada uma é paga, para você saber para onde está indo:

1. O clique caiu dentro do botão? Você vai resolver isso com uma comparação entre uma distância e um raio, no capítulo 10.
2. Os dois objetos se encostaram? Você vai resolver isso comparando a distância entre os centros com a soma dos raios, e depois cuidando dos casos em que um deles está em movimento, no capítulo 11.
3. Para onde vai o tiro? Você vai calcular a curva que um projétil faz no ar, onde ela chega mais alto e onde ela cai, no capítulo 13.

As outras duas não ficam para trás. Saber qual motorista está mais perto é uma distância repetida para cada um, e mover a caixinha suavemente é calcular pontos intermediários do caminho. As duas aparecem bem cedo, no capítulo 5.

E tem mais coisa no caminho. Você vai conseguir calcular onde uma coisa vai bater se sair de um ponto em uma certa direção. Vai conseguir mover algo de um lugar para outro de forma suave, girar uma figura em torno do próprio centro e espalhar objetos em círculo. E vai conseguir desenhar uma curva suave controlada por poucos pontos, do tipo que define o caminho de uma animação ou o contorno de uma letra. Essa curva não passa por todos os pontos que você escolhe: alguns deles só puxam a curva na direção deles, como um ímã. Entender por que isso é uma vantagem faz parte da graça.

E, principalmente, você vai conseguir fazer isso sem procurar fórmula pronta ou código pronto na internet. Essa é a parte que muda o jogo. Quem copia uma receita de colisão consegue resolver aquele caso específico e trava no próximo. Quem entende que colisão entre dois objetos redondos é só comparar uma distância com uma soma resolve esse caso, resolve o próximo, e ainda percebe quando a solução da internet está errada.

Como o conteúdo é apresentado

Toda ideia deste livro segue o mesmo ciclo de quatro passos.

Primeiro vem uma situação de tela. Algo acontecendo, um clique, um objeto andando, dois círculos se aproximando. A ideia nunca começa pela fórmula, porque fórmula sem situação é decoreba e decoreba evapora.

Depois vem um desenho. O livro traz as figuras prontas, e quase sempre pede que você também as refaça no papel. Geometria é uma matéria que entra pelos olhos, e desenhar é parte do método, não enfeite.

Aí vem uma conta com números de verdade. Não uma fórmula genérica cheia de letras, mas uma conta que você consegue fazer na mão, com a calculadora, e conferir. As letras aparecem depois, quando já ficou claro o que elas representam.

Por fim vem o passo a passo em português estruturado, conferido no papel. Português estruturado é uma lista de instruções curtas, escritas em português, numa forma bem arrumada: cada linha faz uma coisa só, cada valor tem um nome, e a ordem dos passos é clara. É o mesmo raciocínio que um programa de computador seguiria, só que escrito para uma pessoa com lápis e calculadora. Você executa esse passo a passo à mão, preenchendo uma tabela linha por linha, que se chama teste de mesa, e marca o resultado numa folha de papel quadriculado que faz o papel da tela. Se a conta estiver errada, o ponto cai no lugar errado e você vê.

O capítulo 3 ensina tudo isso do zero: como montar a sua tela de papel, como escrever o passo a passo e como preencher o teste de mesa. Se um dia você quiser programar, vai descobrir que o passo a passo já é quase o programa. Mas este livro não depende disso.

O que este livro não faz é demonstração formal. Não tem teorema provado passo a passo, não tem "seja um ponto qualquer pertencente ao conjunto". Isso existe, é importante, e não é o que você precisa agora.

Como percorrer o material

Os capítulos foram colocados nesta ordem por um motivo. Cada um usa alguma coisa dos anteriores, e o livro vai do mais concreto ao mais geral: primeiro a preparação, depois a base do plano, depois as curvas, depois as setas e as transformações, depois as três dimensões, e por fim o que aparece quando tudo isso vai para a prática.

O livro tem vinte e dois capítulos, organizados em sete blocos, e um módulo final de fechamento.

Preparação (capítulos 1, 2 e 3). O primeiro mostra por que esse assunto existe e onde ele já está na sua vida. O segundo revisita o mínimo de matemática necessário. O terceiro monta a sua bancada: a tela de papel quadriculado, o passo a passo em português estruturado e o teste de mesa.

A base do plano (capítulos 4 a 8). Coordenadas, distância, a reta, o encontro de duas retas e de que lado de uma reta um ponto está.

As curvas (capítulos 9 a 14). Trigonometria, círculo, interseções entre retas e círculos, coordenadas polares, cônicas e, fechando o bloco, as curvas de Bézier, desenhadas a partir de poucos pontos de controle.

Setas e transformações (capítulos 15 e 16). É um ponto de virada: os vetores aparecem, e boa parte do que veio antes fica mais simples, não mais complicada. Depois vêm mover, girar, esticar e espelhar figuras.

Três dimensões (capítulos 17, 18 e 19). O terceiro eixo, retas e planos no espaço, e os raios, a ferramenta que decide o que a câmera enxerga.

Na prática (capítulos 20 e 21). As técnicas que aparecem em todo sistema com muitas formas, e os cuidados para que uma conta certa não dê resultado errado.

Depois (capítulo 22). Para onde ir quando o livro terminar.

Fechamento (módulo final). Um apêndice de referência rápida, com as fórmulas, as funções e os números da cena reunidos em um lugar só, e a conclusão do livro.

As três promessas do começo ficam pagas ao longo do caminho: o clique no capítulo 10, o encosto no capítulo 11 e o tiro no capítulo 13. Mesmo assim, leia na ordem. A maior parte da dificuldade que as pessoas têm com esse assunto vem de pular etapa.

Dentro de cada capítulo, o ritmo é sempre o mesmo. Uma aula de abertura apresenta o assunto. Depois vêm as aulas de conteúdo, e cada uma é seguida por uma aula de exercícios, com as respostas comentadas logo abaixo, para você conferir o raciocínio e não só o número. O capítulo fecha com um quiz de dez perguntas, que mostra rapidamente o que ficou e o que vale reler.

Uma última recomendação, e ela é a mais importante de todas: faça as práticas. Toda seção cujo título começa com a palavra "Prática" existe para você pegar o lápis, preencher a tabela, marcar os pontos no papel quadriculado, e depois quebrar de propósito, refazendo com outro valor para ver o que muda. Geometria analítica não entra na cabeça pela leitura. Entra quando você marca a bolinha no lugar errado, vê ela cair fora da folha, e descobre sozinho que trocou o sinal.