Cálculo Integral II

Existe uma pergunta que quase ninguém faz, e que este livro responde: quando você pede ao computador o seno de 2 e ele devolve 0,909..., de onde saiu esse número?

O computador não tem uma tabela gigante guardada com o seno de todos os números possíveis. Ele também não tem um triângulo desenhado em algum lugar da memória. O que ele tem é uma conta. Uma soma de parcelas, feita muito rápido, que chega perto o suficiente do valor certo para você nunca perceber a diferença. Essa conta veio do cálculo. Mais especificamente, ela veio de uma ideia chamada série de Taylor, que é o assunto do capítulo 10 deste livro.

A mesma coisa vale para outras perguntas que parecem não ter nada a ver umas com as outras. Como um jogo sabe onde desenhar um personagem que está caindo? Como um sistema estima o custo total de um mecanismo de retentativa que pode repetir muitas vezes? Como um modelo de aprendizado de máquina mede o quanto está errando? Por que uma nota de corte em uma prova coloca você "nos 5% melhores"? Todas essas perguntas têm a mesma resposta no fundo, e essa resposta é acumular. Somar muitos pedacinhos pequenos até formar um total. Isso é integral.

Para quem é este livro

Este é o terceiro livro de uma série. Antes dele vieram o de Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral I. Este livro continua exatamente de onde o Cálculo Integral I parou.

Vale ser honesto sobre o que você precisa trazer.

Da escola, você precisa de aritmética, potências, frações e um pouco de álgebra: resolver uma equação simples, abrir parênteses, achar as raízes de uma equação do segundo grau. Alguns capítulos usam seno, cosseno e tangente. Quando uma dessas coisas aparecer, o texto relembra em poucas linhas, mas não ensina do zero.

Do Cálculo Diferencial, você precisa saber o que é derivada e as regras principais para calculá-la: potência, soma, produto e cadeia.

Do Cálculo Integral I, você precisa da ideia de integral como acumulação, da soma de Riemann, da primitiva com o + C, do teorema fundamental do cálculo, da tabela de integrais e da substituição.

Se você leu os dois livros anteriores, o capítulo 1 vai ser uma revisão rápida. Se não leu, o capítulo 1 resume o essencial do Cálculo Integral I em quatro sessões curtas, e cada ponto aponta para a sessão do livro anterior onde ele foi ensinado com calma. Use essas remissões. O resumo é suficiente para acompanhar, mas não substitui o livro anterior.

Você não precisa saber programar.

O que você vai conseguir fazer no final

Ao terminar este livro, você vai entender de onde vêm as funções que o computador calcula, e vai conseguir montar, em passos simples, sua própria receita para a função exponencial, sabendo por que ela funciona.

Você vai conseguir simular um sistema que muda com o tempo. Uma bola que cai, um café que esfria, uma bateria que carrega. Você vai ver que esses três problemas são o mesmo problema com nomes diferentes, e que um mesmo procedimento curto dá conta de todos eles. Um quarto fenômeno, um conteúdo que se espalha, completa a família no capítulo 12.

Você vai entender por que probabilidade contínua é área. Quando alguém disser que a chance de um valor cair entre 10 e 20 é de 34%, você vai saber exatamente qual conta está por trás disso e como fazê-la você mesmo.

E você vai entender por que aprendizado de máquina, no fundo, é integral. A frase soa exagerada agora. No capítulo 17 ela vai parecer óbvia.

Além disso, no caminho, você vai ganhar coisas menores e muito úteis: saber estimar o erro de uma conta antes de confiar nela, saber por que somar os mesmos números em ordem diferente pode dar resultados diferentes no computador, e saber suavizar uma série de dados cheia de ruído.

Como o material é apresentado

Todo assunto aqui segue o mesmo caminho, sempre nesta ordem.

Primeiro vem uma pergunta prática, do tipo que aparece no trabalho ou na vida. Depois vem um desenho, às vezes numa figura e às vezes descrito em palavras, de um jeito que você consiga refazer no papel com uma caneta. Depois vem uma conta à mão, com números pequenos, feita passo a passo, sem pular etapa. E por último vêm os passos em português estruturado, que é a mesma ideia escrita como uma receita que qualquer pessoa, ou qualquer máquina, consegue seguir.

O português estruturado é um jeito de escrever algoritmos com palavras em português e poucas regras fixas, que valem do primeiro ao último capítulo. A seta <- guarda um valor numa variável, o para ... faca, fechado por fimpara, repete o que está dentro, o se ... entao, fechado por fimse, decide, e o escreva mostra o resultado. Por exemplo, esta receita soma os quadrados de 1 a 4:

total <- 0
para i de 1 ate 4 faca
   total <- total + i * i
fimpara
escreva(total)

Leia a seta como "recebe": total <- total + i * i quer dizer que o total passa a valer o total de antes mais i vezes i. O * é a multiplicação e o / é a divisão, como na calculadora. No fim, o total vale 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Quando a conta precisa de muitas repetições, o texto mostra o resultado que o computador obtém seguindo esses passos, quase sempre numa tabela. Você não precisa rodar nada para acompanhar.

Cada aula de texto é seguida de uma aula de exercícios sobre o mesmo assunto, feita para o papel e a caneta, com as respostas comentadas escondidas logo abaixo. Tente todos antes de abrir as respostas: é ali que você descobre o que entendeu de verdade. E todo capítulo termina com um quiz de dez perguntas de múltipla escolha, que passa pelo capítulo inteiro e mostra o que vale a pena reler antes de seguir.

Não há demonstração formal em lugar nenhum deste livro. Demonstração é uma coisa linda e importante, e é assunto de outro tipo de material. Aqui o objetivo é diferente: é você entender a ideia bem o suficiente para usá-la, reconhecê-la quando aparecer disfarçada, e desconfiar dela quando ela estiver sendo usada errado.

Como percorrer o livro

O livro tem dezoito capítulos e um apêndice, organizados em blocos.

Aquecimento (capítulo 1). Retoma a base do Cálculo Integral I. Ninguém deveria pular esse.

Técnicas de conta (capítulos 2, 3 e 4). São os capítulos mais "matemática de caderno" do livro inteiro. Se o seu objetivo é entender ideias e não resolver integrais no papel, você pode ler esses três por cima e voltar depois.

Infinito, volume e espaço (capítulos 5 a 8). Intervalos que se esticam até o infinito, volume, comprimento, superfície e integrais em mais de uma dimensão.

Somas infinitas e erro (capítulos 9, 10 e 11). Somar infinitas parcelas, aproximar funções difíceis por polinômios fáceis e medir o erro dessa aproximação. Para quem trabalha com computador, este é o bloco mais imediatamente aplicável do livro.

Tempo e sorte (capítulos 12 a 15). Sistemas que mudam com o tempo, primeiro resolvidos na mão e depois simulados quando resolver na mão é impossível, que é o caso mais comum. Depois, probabilidade contínua e sorteio como ferramenta de cálculo.

Aplicação e saída (capítulos 16, 17 e 18). Sinais e suavização, onde cada peça aparece em trabalho de verdade, e o que estudar depois.

Apêndice e conclusão (capítulo 19). Referência rápida, com a tabela, os procedimentos, a notação e um mapa de qual técnica usar, e a conclusão do livro.

A aula 1.8 detalha esses blocos e propõe trilhas de leitura para objetivos diferentes.

Uma última coisa antes de começar. Você vai travar em algum ponto. Isso não é sinal de que você não serve para isso, é sinal de que o assunto tem profundidade. Quando travar, o melhor movimento quase nunca é reler a mesma página pela quarta vez. É pegar a conta e fazer com números pequenos, no papel, mesmo que pareça bobo. É assim que a ideia sai da página e entra na cabeça.